Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдаётся за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как её решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1-15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.
Пол Локхард
из эссе «Плач математика»
Математика, наверное, - один из самых странных разделов науки. Ни в одном другом предмете не сочетаются так сильно противоположности: от строгости формальных доказательств до умения «видеть» те или иные построения. Математика обладает как внутренней красотой, так и внешней. Нет ничего более увлекательного, нежели решение математических задач. И ни один другой предмет не преподаётся в школе так бездарно.
С чего начинается обычно изучение математики в школе? С выдачи 7-8 летним детям непонятного набора символов и определений и систему алгоритмов для применения этой абракадабры. Отдельные вещи, например, таблица умножения - заучиваются.
В следующих классах на основе этой системы ученикам расскажут и заставят заучить набор шаманских ритуалов, позволяющих решить вымученные задачи. Возникнут новые определения, такие как «правильная дробь» и «неправильная дробь» без малейшего объяснения, откуда это взялось и, главное, зачем. Особое внимание будет уделено решению бесполезных и вымученных текстовых задач, имеющих такое же отношение к реальности, как и сами алгоритмы.
В качестве небольшого теста можно предложить вспомнить: сколько раз в жизни вам потребовались определения правильной или неправильной дроби?
Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.
Бертран Рассел
английский философ, логик и математик
При этом учителя будут беспощадно подавлять любое инакомыслие. Попробуй записать 5/2 вместо 2 1/2 (на что всегда хочется возразить: если у меня есть три яблока, каждое из которых разделено пополам, то я возьму 5 половинок, а не 2 яблока и 1 половину).
Эту тему можно продолжать достаточно долго. Более того, это уже сделано в эссе Пола Локхарда «Плач математика» . В нём достаточно неплохо показано «Кто виноват». Но не дан ответ на второй важный вопрос - «Что делать».
Вариант ответа на этот вопрос приводится в замечательной книге, недавно переведённой на русский язык. Книга называется «Удовольствие от х» .
Удовольствие от х
Если вы что-то не можете объяснить шестилетнему ребёнку, вы сами этого не понимаете.
Альберт Эйнштейн
Это та книга, которая обязана стать настольной для любого преподавателя любого технического предмета, будь то математика или информатика.
Автор этого удовольствия, Стивен Строгац - математик мирового уровня, преподаватель прикладной математики в Корнелльском университете США (один из ведущих технических вузов мира). И, судя по книге, в этом человеке соединились воедино два замечательных качества, которые сделали это произведение бестселлером: Стивен Строгац - сильный математик и преподаватель в одном лице.
Можно уметь преподавать, но не знать хорошо предмет. Можно хорошо знать предмет, но не уметь преподавать. Можно уметь делать и то, и другое, но посредственно. Стивен Строгац принадлежит другому типу: он знает и умеет преподавать правильно.
О чём же эта книга? На самом деле, обо всём, что хоть как-то связано с математикой. Разделы книги на первый взгляд подобраны хаотично (Числа, Соотношения, Фигуры, Время перемен, Многоликие данные, Границы возможно), но по мере чтения начинаешь понимать то, что хотел донести автор. Книга построена на исследовании. Исследовании, которое ведёт автор совместно с читателем.
Спектр рассматриваемых задач огромен. Любой человек, даже отлично знающий математику, почерпнёт в ней что-то новое. При этом рассматриваются как практические задачи (например, вычисление процентов, полученных с акций, вкладываемых в фондовый рынок), так и абсолютно абстрактные.
Многие задачи даются в историческом контексте. Здесь хотелось бы остановиться отдельно: сейчас практически из всех учебников выброшена история развития математики. А между тем, только понимая исторический контекст, можно пройти весь путь - от простейшей арифметики к современным математическим теориями.
Вспомним, к примеру, квадратные уравнения. Сколько слёз было пролито и учениками, и учителями в попытке запомнить заклинание: икс один-два равно минус бэ плюс-минус корень из бэ в квадрате минус четыре а-цэ и поделить всё на два а.
Кстати, такой способ записи уже не является правильным согласно новым математическим стандартам - прим. редактора.
Люди с хорошей памятью и/или «в теме» могу ещё вспомнить теорему Виета. Но вместо всего этого Стивен Строгац приводит элегантное объяснение, придуманное аль-Хорезми, с помощью которого без всяких формул можно легко и непринуждённо найти решение (хоть и неполное: в те времена отрицательные числа ещё не применялись повсеместно). И, уверяю вас, любой прочитавший это решение, запомнит его навсегда. С первого раза.
От главы к главе сложность задач возрастает. Но понимание не теряется, в чём и состоит особое удовольствие от чтения «Удовольствия от х». Читатель погружается в ту атмосферу, которую для него создал автор, практически, в дивный новый мир.
Я не знаю, с чем можно сравнить эту книгу. Возможно, со знаменитыми Феймановскими лекциями по физике или же с «Вы, наверное, шутите, мистер Фейман». Но одно можно сказать точно: эта книга оставит свой след в душе тех, кто её прочитает.
Насколько полезны числа для изучения окружающего мира, в чем прелесть геометрии, насколько изящны интегральные счисления и важна статистика? Обо всем этом в своей книге «Удовольствие от Х» рассказывает Стивен Строгац. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя примеры, понятные каждому. сайт публикует одну из глав книги, опубликованной в издательстве «Манн, Иванов и Фербер».
Статистика внезапно стала сверхмодным направлением. С появлением Интернета, электронной торговли, социальных сетей, проекта по расшифровке генома человека, а также в связи с развитием цифровой культуры в целом мир стал захлебываться в данных. Маркетологи изучают наши вкусы и привычки. Разведывательные службы собирают информацию о нашем местонахождении, электронной переписке и телефонных звонках. Специалисты по спортивной статистике жонглируют цифрами, решая, каких игроков покупать, кого набирать в команду, а кого посадить на скамью запасных. Каждый стремится объединить точки в график и обнаружить закономерность в беспорядочном скоплении данных.
Неудивительно, что эти тенденции отражаются и в обучении. «Давайте обратимся к статистике», - увещевает в своей колонке газеты New York Times Грег Мэнкью, экономист из Гарвардского университета.
«В учебной программе по математике в средней школе слишком много времени уделяется традиционным темам, таким как евклидова геометрия и тригонометрия. Эти полезные для обычного человека умственные упражнения, однако, малоприменимы в повседневной жизни. Учащимся было бы гораздо полезнее больше узнать о теории вероятности и статистике». Дэвид Брукс идет еще дальше. В своей статье, посвященной дисциплинам, заслуживающим внимания для получения достойного образования, он пишет: «Возьмите статистику. Вот увидите, окажется, что знание того, что такое стандартное отклонение, вам очень пригодится в жизни».
Вполне вероятно, а еще неплохо разбираться в том, что такое распределение. Это первое, о чем я намерен поговорить. И хотел бы заострить на нем внимание, поскольку в этом заключается один из главных уроков статистики: вещи кажутся безнадежно случайными и непредсказуемыми при рассмотрении их по отдельности, однако в совокупности в них обнаруживается закономерность и предсказуемость.
Возможно, вы видели демонстрацию этого принципа в каком-нибудь научном музее (если нет, видеоролики можно найти в Интернете). Типичный экспонат представляет собой приспособление под названием доска Гальтона, которая чем-то напоминает автомат для игры в пинбол, только без флипперов. Внутри его с равными интервалами располагаются ровные ряды штырьков.
Доска Гальтона
Опыт начинается с того, что в верхнюю часть доски Гальтона запускаются сотни шариков. При падении они сталкиваются со штырьками и с равной вероятностью отскакивают то вправо, то влево, а затем распределяются внизу доски, попадая в отсеки одинаковой ширины. Высота столбика из шариков показывает, с какой вероятностью шарик может оказаться в данном месте. Большинство шариков размещаются примерно в середине, по бокам их уже меньше, и еще меньше - по краям.
В общем, картина чрезвычайно предсказуема: шарики всегда образуют распределение в форме колокола, хотя предугадать, где окажется каждый отдельно взятый шарик, невозможно.
Каким образом отдельные случайности превращаются в общие закономерности? Но именно так действует случайность. В среднем столбике скопилось больше всего шариков потому, что, прежде чем скатиться вниз, многие из них совершат примерно одинаковое количество прыжков вправо и влево и в результате окажутся где-то посередине. Несколько одиноких шариков, расположившихся по краям, образуют хвосты распределения - это те шарики, которые при столкновении со штырьками отскакивали всегда в одном направлении. Такие отскоки маловероятны, поэтому по краям так мало шариков.
Подобно тому как местоположение каждого шарика определяется суммой множества случайных событий, многие явления в этом мире являются следствием множества мелких обстоятельств и тоже подчиняются колоколообразной кривой. По этому принципу работают страховые компании. Они с высокой точностью могут назвать количество своих клиентов, которые умирают каждый год. Однако не знают, кому именно не повезет на этот раз.
Или возьмем, к примеру, рост человека. Он зависит от бесчисленного количества случайностей, связанных с генетикой, биохимией, питанием и окружающей средой. Следовательно, велика вероятность, что при рассмотрении в совокупности рост взрослых мужчин и женщин будет представлять собой колоколообразную кривую.
В одном блоге под названием «Ложные данные, которые люди сообщают о себе в Интернете» статистическая служба сайта знакомств OkCupid недавно опубликовала график роста своих клиентов или, скорее, указанных ими значений. Обнаружилось, что показатели роста представителей обоих полов, как и ожидалось, образуют колоколообразную кривую. Однако удивительно то, что оба распределения были примерно на два дюйма смещены вправо относительно ожидаемых значений.
Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.
Таким образом, либо рост клиентов, опрошенных компанией OkCupid, превышает средний, либо при описании себя в Интернете они прибавляют к своему росту еще пару дюймов.
Идеализированной версией подобных колоколообразных кривых является то, что математики называют нормальным распределением. Это одно из важнейших понятий в статистике, имеющее теоретическое обоснование. Можно доказать, что нормальное распределение возникает при сложении большого количества мелких случайных факторов, причем каждый из них действует независимо от других. И многие события происходят именно таким образом.
Но не все. И это второй пункт, на который я хотел бы обратить внимание. Нормальное распределение не такое уж вездесущее, как кажется. На протяжении сотни лет, и особенно в последние несколько десятилетий, ученые и специалисты в области статистики отмечают существование множества явлений, отклоняющихся от этой кривой и следующих собственному графику. Любопытно, что подобные типы распределений практически не упоминаются в учебниках по элементарной статистике, а если и встречаются, то обычно рассматриваются как некие патологии.
Это странно. Я попытаюсь объяснить, что многие явления современной жизни приобретают больший смысл при условии понимания этих «патологических» распределений. Это новая нормальность. Возьмем, к примеру, распределение размеров городов в США. Вместо того чтобы скапливаться вокруг некоей средней величины колоколообразной кривой, подавляющее большинство городов имеют небольшой размер и, следовательно, скапливаются в левой части графика.
Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.
И чем больше население города, тем реже такие города встречаются. Иначе говоря, в совокупности распределение будет представлять собой скорее кривую в форме буквы L, чем колоколообразную кривую.
И в этом нет ничего удивительного. Все знают, что мегаполисов гораздо меньше, чем маленьких городов. Хотя это не так очевидно, размеры городов подчиняются простому красивому распределению - если посмотреть на них в логарифмическом масштабе.
Будем считать, что различие между двумя городами одно и то же, если их население отличается в одно и то же число раз (подобно тому как две любые клавиши рояля, отстоящие на октаву, всегда разнятся вдвое по частоте). И сделаем то же самое на вертикальной оси.
Строгац С. Удовольствие от Х. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.
Теперь данные располагаются на кривой, представляющей собой почти идеальную прямую линию. Исходя из свойств логарифмов, нетрудно вывести, что исходная L-образная кривая представляет собой степенную зависимость, которая описывается функцией вида
где x - население города, у - количество городов, имеющих такой размер, с - константа, а показатель степени a (показатель степенной зависимости) определяет отрицательный наклон прямой линии.
Степенные распределения имеют некоторые нелогичные, с точки зрения традиционной статистики, свойства. Например, в отличие от нормального распределения, их моды, медианы и средние значения не совпадают из-за скошенной асимметричной формы L-образных кривых.
Президент Буш извлек из этого немалую пользу, заявив в 2003 году, что сокращение налогов позволило каждой семье сэкономить в среднем 1586 долларов. Хотя математически это верно, здесь он к своей выгоде взял за основу среднее значение вычета, под которым скрывались огромные вычеты в сотни тысяч долларов, полученные 0,1% богатейшего населения страны. Известно, что «хвост» в правой части распределения дохода следует степенной зависимости, и в подобной ситуации использование средней величины вводит в заблуждение, поскольку она далека от своего реального значения. В действительности большинству семей вернули менее 650 долларов. В данном распределении медиана значительно меньше, чем среднее значение.
Этот пример демонстрирует важнейшее свойство распределений степенной зависимости: они имеют «тяжелые хвосты» по сравнению по крайней мере с маленькими «жидкими хвостиками» нормального распределения. Подобные большие хвосты хотя и редкость, но встречаются чаще в распределениях данных, чем обычные колоколообразные кривые.
В «черный понедельник», 19 октября 1987 года, промышленный индекс Доу-Джонса упал на 22%. По сравнению с обычным уровнем нестабильности на фондовом рынке это падение составило более двадцати стандартных отклонений. Согласно традиционной статистике (в которой используется нормальное распределение), подобное событие практически невозможно: его вероятность составляет менее чем один случай на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 в 50 степени). Однако это произошло - поскольку колебания цен на фондовом рынке не соответствовали нормальному распределению.
Для их описания лучше подходят распределения с «тяжелым хвостом». Подобное происходит с землетрясениями, пожарами и наводнениями, что усложняет страховым компаниям задачу управления рисками.
Такая же математическая модель описывает число погибших в результате войн и террористических атак, а также другие, гораздо более мирные вещи, такие как количество слов в романе или число сексуальных партнеров у человека.
Хотя прилагательные, используемые для описания длинных хвостов, выставляют их в не слишком выгодном свете, «хвостатые» распределения гордо несут свои хвосты. Жирный, тяжелый и длинный? Да, это так. Но в таком случае покажите, какой нормальный?
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.
- Название : Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
- Автор :
- Год :
- Жанр :
- Скачать
- Отрывок
Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
Стивен Строгац
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.
На русском языке публикуется впервые.
Стивен Строгац
Удовольствие от X. Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
Steven Strogatz
A Guided Tour of Math, from One to Infinity
Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 All rights reserved
© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2014
Все права защищены. Никакая часть электронной версии этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпора...
The Joy of X
A Guided Tour of Math, from One to Infinity
Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 All rights reserved
© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2014
Все права защищены. Никакая часть электронной версии этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, для частного и публичного использования без письменного разрешения владельца авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс»
* * *
Эту книгу хорошо дополняют:
Кванты
Скотт Паттерсон
Brainiac
Кен Дженнингс
Moneyball
Майкл Льюис
Гибкое сознание
Кэрол Дуэк
Физика фондового рынка
Джеймс Уэзеролл
Предисловие
У меня есть друг, который, несмотря на свое ремесло (он – художник), страстно увлечен наукой. Всякий раз, когда мы собираемся вместе, он с энтузиазмом рассуждает о последних достижениях в области психологии или квантовой механики. Но стоит нам заговорить о математике – и он чувствует дрожь в коленках, что его сильно огорчает. Он жалуется, что эти странные математические символы не только не поддаются его пониманию, но порой он даже не знает, как их произносить.
На самом деле причина его неприятия математики гораздо глубже. Он никак не возьмет в толк, чем математики вообще занимаются и что имеют в виду, когда говорят, что данное доказательство изящно. Иногда мы шутим, что мне нужно просто сесть и начать его учить с самых азов, буквально с 1 + 1= 2, и углубиться в математику настолько, насколько он сможет.
И хотя эта затея кажется безумной, именно ее я и попытаюсь осуществить в данной книге. Я проведу вас по всем основным разделам науки, от арифметики до высшей математики, чтобы те, кто хотел получить второй шанс, наконец смогли им воспользоваться. И на сей раз вам не придется садиться за парту. Эта книга не сделает вас экспертом в математике. Зато поможет разобраться в том, что изучает данная дисциплина и почему она так увлекательна для тех, кто это понял.
Для того чтобы прояснить, что я имею в виду под жизнью чисел и их поведением, которое мы не можем контролировать, давайте вернемся в отель «Мохнатые лапы». Предположим, что Хамфри как раз собрался передать заказ, но тут ему неожиданно позвонили пингвины из другого номера и тоже попросили такое же количество рыбы. Сколько раз Хамфри должен прокричать слово «рыбка» после получения двух заказов? Если бы он ничего не узнал о числах, то ему пришлось бы кричать столько раз, сколько всего пингвинов в обеих комнатах. Или, используя числа, он мог объяснить повару, что ему нужно шесть рыбок для одного номера и шесть для другого. Но то, что ему действительно необходимо, представляет собой новую концепцию – сложение. Как только он его освоит, он с гордостью скажет, что ему нужно шесть плюс шесть (или, если он позер, двенадцать) рыбок.
Это такой же творческий процесс, как и тот, когда мы только придумывали числа. Так же как числа упрощают подсчет по сравнению с перечислением по одному, сложение упрощает вычисление любой суммы. При этом тот, кто производит подсчет, развивается как математик. По-научному эту мысль можно сформулировать так: использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть вопроса и большему могуществу при его решении.
Вскоре, возможно, даже Хамфри поймет, что теперь он всегда может производить подсчет.
Однако, несмотря на столь бесконечную перспективу, наше творчество всегда имеет какие-то ограничения. Мы можем решить, что подразумеваем под 6 и +, но как только это сделаем, результаты выражений, подобных 6 + 6, окажутся вне нашего контроля. Здесь логика не оставит нам выбора. В этом смысле математика всегда включает в себя как изобретение, так и открытие: мы изобретаем концепции, но открываем их последствия. Как станет ясно из следующих глав, в математике наша свобода заключается в возможности задавать вопросы и настойчиво искать на них ответы, однако не изобретая их самостоятельно.
2. Каменная арифметика
Как и любое явление в жизни, арифметика имеет две стороны: формальную и занимательную (или игровую).
Формальную часть мы изучали в школе. Там нам объясняли, как работать со столбцами чисел, складывая и вычитая их, как перелопачивать их при выполнении расчетов в электронных таблицах при заполнении налоговых деклараций и подготовки годовых отчетов. Эта сторона арифметики кажется многим важной с практической точки зрения, но совершенно безрадостной.
С занимательной стороной арифметики можно познакомиться только в процессе изучения высшей математики {3} . Тем не менее, она так же естественна, как и любопытство ребенка {4} .
В эссе «Плач математика» Пол Локхарт предлагает изучать числа на более конкретных, чем обычно, примерах: он просит, чтобы мы представили их в виде некоторого количества камней. Например, число 6 соответствует вот такому набору камешков:
Вы вряд ли увидите тут что-то необычное. Так оно и есть. Пока мы не приступим к манипуляциям с числами, они выглядят примерно одинаково. Игра начинается, когда мы получаем задание.
Например, давайте посмотрим на наборы, в которых есть от 1 до 10 камней, и попробуем сложить из них квадраты. Это можно сделать только с двумя наборами – из 4 и 9 камней, поскольку 4 = 2 × 2 и 9 = 3 × 3. Мы получаем эти числа путем возведения в квадрат некоего другого числа (то есть раскладывая камни в виде квадрата).
Вот задача, имеющая большее число решений: надо узнать, из каких наборов получится прямоугольник, если разложить камни в два ряда с равным количеством элементов. Здесь подойдут наборы из 2, 4, 6, 8 или 10 камней; число должно быть четным. Если мы попробуем разложить в два ряда оставшиеся наборы с нечетным количеством камней, то у нас неизменно будет оставаться лишний камень.
Но не все потеряно для этих неудобных чисел! Если взять два таких набора, то лишние элементы найдут себе пару, и сумма получится четной: нечетное число + нечетное число = четное число.
Если распространить эти правила на числа, идущие после 10, и считать, что количество рядов в прямоугольнике может быть больше двух, то некоторые нечетные числа позволят сложить такие прямоугольники. Например, число 15 может составить прямоугольник 3 × 5.
Поэтому хотя 15, несомненно, нечетное число, оно является составным и может быть представлено в виде трех рядов по пять камней в каждом. Точно так же любая запись в таблице умножения дает собственную прямоугольную группу камешков.
Но некоторые числа, вроде 2, 3, 5 и 7, совершенно безнадежны. Из них нельзя выложить ничего, кроме как расположить их в виде простой линии (одного ряда). Эти странные упрямцы – знаменитые простые числа.
Итак, мы видим, что числа могут иметь причудливые структуры, которые наделяют их определенным характером. Но, чтобы представить весь спектр их поведения, надо отстраниться от отдельных чисел и понаблюдать за тем, что происходит во время их взаимодействия.
Например, вместо того чтобы сложить всего два нечетных числа, сложим все возможные последовательности нечетных чисел, начиная с 1:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Удивительно, но эти суммы всегда оказываются идеальными квадратами. (О том, что 4 и 9 можно представить в виде квадратов, мы уже говорили, а для 16 = 4 × 4 и 25 = 5 × 5 это тоже верно.) Быстрый подсчет показывает, что это правило справедливо и для бо́льших нечетных чисел и, видимо, стремится к бесконечности. Но какая же связь между нечетными числами с их «лишними» камнями и классически симметричными числами, образующими квадраты? Правильно располагая камешки, мы можем сделать ее очевидной, что является отличительной чертой изящного доказательства. {5}
Ключом к нему будет наблюдение, что нечетные числа можно представить в виде равносторонних уголков, последовательное наложение которых друг на друга образует квадрат!
Подобный способ рассуждений представлен еще в одной недавно вышедшей книге. В очаровательном романе Ёко Огавы The Housekeeper and the Professor («Домработница и профессор») рассказывается о проницательной, но необразованной молодой женщине и ее десятилетнем сыне. Женщину наняли ухаживать за пожилым математиком, у которого из-за полученной черепно-мозговой травмы в краткосрочной памяти сохраняется информация только о последних 80 минутах жизни. Потерявшись в настоящем, один в своем убогом коттедже, ничего не имея, кроме чисел, профессор пытается общаться с домработницей единственным известным ему способом: спрашивая о размере ее обуви или дате рождения и ведя с нею светскую беседу о ее расходах. Профессор также питает особую симпатию к сыну экономки, которого называет Рут (Root – корень), потому что у мальчика сверху плоская голова, и это напоминает ему обозначение в математике квадратного корня √.
Однажды профессор предлагает мальчику простую задачу – найти сумму всех чисел от 1 до 10. После того как Рут аккуратно складывает все числа между собой и возвращается с ответом (55), профессор просит его поискать более простой способ. Сможет ли он найти ответ без обычного сложения чисел? Рут пинает стул и кричит: «Это несправедливо!»
Мало-помалу домработница тоже втягивается в мир чисел и сама тайно пытается решить эту задачу. «Я не понимаю, почему так увлеклась детской задачкой, которая не имеет никакой практической пользы», – говорит она. «Сначала я хотела угодить профессору, но постепенно это занятие превратилось в сражение между мной и числами. Когда я просыпалась утром, уравнение уже ждало меня:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
Эту книгу хорошо дополняют:
Кванты
Скотт Паттерсон
Brainiac
Кен Дженнингс
Moneyball
Майкл Льюис
Гибкое сознание
Кэрол Дуэк
Физика фондового рынка
Джеймс Уэзеролл
The Joy of X
A Guided Tour of Math, from One to Infinity
Стивен Строгац
Удовольствие от Х
Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
Информация от издательства
На русском языке публикуется впервые
Издано с разрешения Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
Строгац, П.
Удовольствие от Х . Увлекательное путешествие в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире / Стивен Строгац; пер. с англ. - М. : Манн, Иванов и Фербер, 2014.
ISBN 978-500057-008-1
Эта книга способна в корне изменить ваше отношение к математике. Она состоит из коротких глав, в каждой из которых вы откроете для себя что-то новое. Вы узнаете насколько полезны числа для изучения окружающего мира, поймете, в чем прелесть геометрии, познакомитесь с изяществом интегральных исчислений, убедитесь в важности статистики и соприкоснетесь с бесконечностью. Автор объясняет фундаментальные математические идеи просто и элегантно, приводя блистательные примеры, понятные каждому.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс»
© Steven Strogatz, 2012 All rights reserved
© Перевод на русский язык, издание на русском языке, оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2014
Предисловие
У меня есть друг, который, несмотря на свое ремесло (он - художник), страстно увлечен наукой. Всякий раз, когда мы собираемся вместе, он с энтузиазмом рассуждает о последних достижениях в области психологии или квантовой механики. Но стоит нам заговорить о математике - и он чувствует дрожь в коленках, что его сильно огорчает. Он жалуется, что эти странные математические символы не только не поддаются его пониманию, но порой он даже не знает, как их произносить.
На самом деле причина его неприятия математики гораздо глубже. Он никак не возьмет в толк, чем математики вообще занимаются и что имеют в виду, когда говорят, что данное доказательство изящно. Иногда мы шутим, что мне нужно просто сесть и начать его учить с самых азов, буквально с 1 + 1= 2, и углубиться в математику настолько, насколько он сможет.
И хотя эта затея кажется безумной, именно ее я и попытаюсь осуществить в данной книге. Я проведу вас по всем основным разделам науки, от арифметики до высшей математики, чтобы те, кто хотел получить второй шанс, наконец смогли им воспользоваться. И на сей раз вам не придется садиться за парту. Эта книга не сделает вас экспертом в математике. Зато поможет разобраться в том, что изучает данная дисциплина и почему она так увлекательна для тех, кто это понял.
Мы узнаем, как слэм-данки Майкла Джордана могут помочь объяснить азы исчисления. Я покажу вам простой и потрясающий способ, как понять основополагающую теорему евклидовой геометрии - теорему Пифагора. Мы постараемся добраться до самой сути некоторых тайн жизни, больших и малых: убивал ли свою жену Джей Симпсон; как перекладывать матрас, чтобы он прослужил максимально долго; сколько партнеров нужно сменить перед тем, как сыграть свадьбу, - и увидим, почему одни бесконечности больше, чем другие.
Математика повсюду, надо только научиться ее узнавать. Можно разглядеть синусоиду на спине зебры, услышать отголоски теорем Евклида в Декларации о независимости; да что там говорить, даже в сухих отчетах, предшествовавших Первой мировой войне, присутствуют отрицательные числа. Также можно увидеть, как на нашу сегодняшнюю жизнь влияют новые направления математики, например, когда мы ищем рестораны с помощью компьютера или пытаемся хотя бы понять, а еще лучше - пережить пугающие колебания фондового рынка.
Серия из 15 статей под общим названием «Основы математики» появилась в сети в конце января 2010 года. В ответ на их публикацию посыпались письма и комментарии от читателей всех возрастов, среди которых было много студентов и преподавателей. Встречались и просто любознательные люди, по тем или иным причинам «сбившиеся с пути» постижения математической науки; теперь же они почувствовали, что упустили что-то сто ящее, и хотели бы попробовать еще раз. Особую радость мне доставляли благодарности от родителей за то, что они с моей помощью смогли объяснить математику своим детям, да и сами стали лучше ее понимать. Казалось, что даже мои коллеги и товарищи, горячие поклонники этой науки, получали удовольствие от чтения статей, за исключением тех моментов, когда они наперебой предлагали всевозможные рекомендации по улучшению моего детища.
Несмотря на расхожее мнение, в обществе наблюдается явный интерес к математике, хотя этому феномену и уделяют мало внимания. Мы только и слышим, что о страхе перед математикой, и тем не менее, многие с радостью бы попробовали разобраться в ней лучше. И стоит этому случиться - их уже будет трудно оторвать.
Данная книга познакомит вас с самыми сложными и передовыми идеями из мира математики. Главы небольшие, легко читаются и особо не зависят друг от друга. Среди них есть и вошедшие в ту, первую серию статей в New York Times. Так что как только почувствуете легкий математический голод, не раздумывая беритесь за следующую главу. Если захотите подробнее разобраться в заинтересовавшем вас вопросе, то в конце книги есть примечания с дополнительной информацией и рекомендациями, что еще об этом можно почитать.
Для удобства читателей, которые предпочитают пошаговый подход, я разбил материал на шесть частей в соответствии с традиционным порядком изучения тем.
Часть I «Числа» начинает наше путешествие с арифметики в детском саду и начальной школе. В ней показано, насколько полезными бывают числа и как они магически эффективны при описании окружающего мира.
Часть II «Соотношения» переводит внимание с самих чисел на соотношения между ними. Эти идеи лежат в основе алгебры и являются первыми инструментами для описания того, как одно влияет на другое, проявляя причинно-следственную связь самых разных вещей: спроса и предложения, стимула и реакции - словом, всех видов отношений, которые делают мир столь многогранным и богатым.
Часть III «Фигуры» повествует не о числах и символах, а о фигурах и пространстве - вотчине геометрии и тригонометрии. Эти темы, наряду с описанием всех обозримых объектов посредством форм, с помощью логических рассуждений и доказательств поднимают математику на новый уровень точности.
В части IV «Время перемен» мы рассмотрим исчисления - самое впечатляющее и многогранное направление математики. Исчисления позволяют предсказать траекторию движения планет, циклы приливов и отливов и дают возможность понять и описать все периодически меняющиеся процессы и явления во Вселенной и внутри нас. Важное место в этой части отведено изучению бесконечности, усмирение которой стало прорывом, позволившим вычислениям заработать. Вычисления помогли решить многие задачи, возникшие еще в античном мире, и это, в конечном счете, привело к революции в науке и современном мире.
Часть V «Многоликие данные» имеет дело с вероятностью, статистикой, сетями и обработкой данных - это все еще относительно молодые области, порожденные не всегда упорядоченными сторонами нашей жизни, такими как возможность и удача, неуверенность, риск, изменчивость, хаотичность, взаимозависимость. Используя подходящие средства математики и соответствующие типы данных, мы научимся обнаруживать закономерность в потоке случайностей.
В конце нашего путешествия в части VI «Границы возможного» мы приблизимся к пределам математического знания, к пограничной области между тем, что уже известно, и тем, что пока неуловимо и не познано. Мы вновь пройдемся по темам в уже знакомом нам порядке: числа, соотношения, фигуры, изменения и бесконечность, - но при этом рассмотрим каждую из них более глубоко, в ее современном воплощении.
