Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).
Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности
- четвертям - 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
- серединам четвертей - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- третям четвертей - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.
Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).
Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).
Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).
Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого - это и есть координаты x и y точки окружности.
Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.
Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)
При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.
Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.
В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.
Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.
Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.
Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.
Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.
Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:
Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.
Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:
Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у , определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.Решение
.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R
2 = (x-a
) 2 + (y-b
) 2
Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R
= 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a
= 2
b
= -3
Получаем:
(x - 2
) 2 + (y - (-3
)) 2 = 4
2
или
(x - 2
) 2 + (y + 3
) 2 = 16
.
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .Решение
.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.
В уравнение (x
- 2) 2 + (y
+ 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3
Проверим истинность полученного равенства
(x
- 2) 2 + (y
+ 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно
Таким образом, заданная точка не принадлежит
заданному уравнению окружности.
Пусть
окружность имеет радиус
,
а ее центр находится в точке
.
Точка
лежит на окружности тогда и только
тогда, когда модуль вектора
равен
,
то есть.
Последнее равенство выполнено тогда и
только тогда, когда
Уравнение (1) и является искомым уравнением окружности.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору
перпендикулярно вектору
.
Точка
и
перпендикулярны. Векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю, то есть
.
Используя формулу вычисления скалярного
произведения векторов, заданных своими
координатами, уравнение искомой прямой
записываем в виде
Рассмотрим пример. Найти уравнение прямой, проходящей через
середину отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку если координаты точек соответственно равны А(1;6), В(5;4).
Будем
рассуждать следующим образом. Чтобы
найти уравнение прямой мы должны знать
точку, через которую эта прямая проходит,
и вектор перпендикулярный этой прямой.
Вектором, перпендикулярным данной
прямой, будет вектор
,
поскольку, по условию задачи, прямая
перпендикулярна отрезку АВ. Точку
определим
из условия, что прямая проходит через
середину АВ. Имеем
.
Таким образом
и уравнение примет вид.
Выясним вопрос, проходит ли эта прямая через точку М(7;3).
Имеем , значит, эта прямая не проходит через указанную точку.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору
Пусть
прямая проходит через точку
параллельно вектору
.
Точка
лежит на прямой тогда и только тогда,
когда векторы
и
колинеарны. Векторы
и
колинеарны тогда и только тогда, когда
их координаты пропорциональны, то есть
(3)
Полученное уравнение и является уравнением искомой прямой.
Уравнение (3) представим в виде
,
где
принимает любые значения
.
Следовательно, можем записать
,
где
(4)
Система уравнений (4) называется параметрическими уравнениями прямой.
Рассмотрим
пример.
Найти
уравнение прямой, проходящей через
точки
.
Мы можем построить уравнение прямой,
если знаем точку и параллельный или
перпендикулярный ей вектор. Точек в
наличии целых две. Но если две точки
лежат на прямой, то вектор, их соединяющий
будет параллелен этой прямой. Поэтому
воспользуемся уравнением (3), взяв в
качестве вектора
вектор
.
Получаем
(5)
Уравнение (5) называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки.
Общее уравнение прямой
Определение.
Общим
уравнением линии первого порядка на
плоскости называется уравнение вида
,
где
.
Теорема. Всякая прямая на плоскости может быть задана в виде уравнения линии первого порядка, и всякое уравнение линии первого порядка является уравнением некоторой прямой на плоскости.
Первая
часть этой теоремы доказывается просто.
На всякой прямой можно указать некоторую
точку
перпендикулярный
ей вектор
.
Тогда, согласно (2), уравнение такой
прямой имеет вид.
Обозначим
.
Тогда уравнение примет вид
.
Теперь
перейдем ко второй части теоремы. Пусть
имеется уравнение
,
где
.
Будем считать для определенности
.
Перепишем уравнение в виде:
;
Рассмотрим
на плоскости точку
,
где
.
Тогда полученное уравнение имеет вид
,
и является уравнением прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
.
Теорема доказана.
В процессе доказательства теоремы мы попутно доказали
Утверждение.
Если имеется уравнение прямой вида
,
то вектор
перпендикулярен данной прямой.
Уравнение
вида
называется общим уравнением прямой на
плоскости.
Пусть
имеется прямая
и точка
.
Требуется определить расстояние от
указанной точки до прямой.
Рассмотрим
произвольную точку
на прямой. Имеем
.
Расстояние
от точки
до прямой равно модулю проекции вектора
на вектор
,
перпендикулярный данной прямой. Имеем
,
преобразуя, получаем формулу:
Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями
,
. Тогда векторы
перпендикулярны первой и второй прямой
соответственно. Угол
между прямыми равен углу между векторами
,
.
Тогда формула для определения угла между прямыми имеет вид:
.
Условие перпендикулярности прямых имеет вид:
.
Прямые
параллельны или совпадают тогда и только
тогда, когда векторы
колинеарны. При этомусловие
совпадения прямых имеет вид
:
,
а
условие отсутствия пересечения
записывается в виде:
.
Последние два условия докажите
самостоятельно.
Исследуем характер поведения прямой по ее общему уравнению.
Пусть
дано общее уравнение прямой
.
Если
,
то прямая проходит через начало координат.
Рассмотрим
случай, когда ни один из коэффициентов
не равен нулю
.
Уравнение перепишем в виде:
,
,
Где
.
Выясним смысл параметров
.
Найдем точки пересечения прямой с осями
координат. При
имеем
,
а при
имеем
.
То есть
- это отрезки, которые отсекает прямая
на координатных осях.Поэтому
уравнение
называется
уравнением прямой в отрезках.
В
случае
имеем
.
В случае
имеем
.
То есть прямая будет параллельна оси
.
Напомним,
что угловым
коэффициентом прямой
называется тангенс угла наклона этой
прямой к оси
.
Пусть прямая отсекает на оси
отрезок
и имеет угловой коэффициент
.
Пусть точка
лежит на данной
Тогда
=
=
.
И уравнение прямой запишется в виде
.
Пусть
прямая проходит через точку
и имеет угловой коэффициент
.
Пусть точка
лежит на этой прямой.
Тогда
=
.
Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом.
Пусть
даны две прямые
,
.
Обозначим
- угол между ними. Пусть
,
углы наклона к оси Х соответствующих
прямых
Тогда
=
,
.
Тогда
условие параллельности прямых имеет
вид
,
а условие перпендикулярности
В заключение рассмотрим две задачи.
Задача . Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), B(10;10), C(20;14).
Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А;
б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А;
в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А;
Определим уравнение медианы АМ.
Точка М() середина отрезка ВС.
Тогда
,
.
Следовательно, точка М имеет координаты
M(15;17).
Уравнение медианы на языке аналитической
геометрии это уравнение прямой, проходящей
через точку А(4;2) параллельно вектору
={11;15}.
Тогда уравнение медианы имеет вид.
Длина медианы АМ=
.
Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) перпендикулярно вектору ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Длина
высоты - это расстояние от точки А(4;2) до
прямой ВС. Данная прямая проходит через
точку B(10;10)
параллельно вектору
={10;4}.
Ее уравнение имеет вид
,
2x-5y+30=0.
Расстояние AS
от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно,
равно AS=
.
Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством диагонали ромба. Если от точки А отложить единичные векторы одинаково направленные с векторамии, то вектор, равный их сумме, будет параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.
={6;8},
,
={16,12},
.
Тогда
=
В качестве направляющего вектора искомой
прямой может служить вектор={1;1},
коллинеарный данному. Тогда уравнение
искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.
Задача. Река протекает по прямой линии, проходящей через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8) живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20) ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка берет пустое ведро из дома, идет на реку, черпает воду и относит ее бабушке. Найти самую короткую дорогу для Красной Шапочки.
Найдем точку Е, симметричную бабушке, относительно реки.
Для этого сначала найдем уравнение прямой, по которой течет река. Это уравнение можно рассматривать, как уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) параллельно вектору . Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.
Далее
найдем уравнение прямой DE,
проходящей через точку D
перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать,
как уравнение прямой, проходящей через
точку D,
перпендикулярно вектору
.
Имеем
Теперь найдем точку S - проекцию точки D на прямую АВ, как пересечение прямых АВ и DE. Имеем систему уравнений
.
Следовательно, точка S имеет координаты S(18;10).
Поскольку S середина отрезка DE, то .
Аналогично .
Следовательно, точка Е имеет координаты Е(23;0).
Найдем уравнение прямой СЕ, зная координаты двух точек этой прямой
Точку М найдем как пересечение прямых АВ и СЕ.
Имеем систему уравнений
.
Следовательно,
точка М имеет координаты
.
Тема 2. Понятие об уравнении поверхности в пространстве. Уравнение сферы. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование Условие параллельности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Понятие об уравнении линии. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Вначале, дадим определение понятия уравнения поверхности в пространстве.
Пусть
в
пространстве
задана некотораяповерхность
.
Уравнение
называется уравнениемповерхности
,
если выполнены два условия:
1.для
любой точки
с координатами
,
лежащей наповерхности,
выполнено
,
то есть ее координаты удовлетворяют
уравнениюповерхности;
2.
любая точка
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению
,
лежит на линии.
Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.
Оборудование : интерактивная доска.
План урока:
- Организационный момент – 3 мин.
- Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
- Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
- Закрепление изученного материала– 20 мин.
- Итог урока – 5 мин.
Ход урока
2. Повторение:
− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;
− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).
3. Объяснение нового материала.
(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.
(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.
х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 7)
Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:
- знать координаты центра;
- знать длину радиуса;
- подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.
4. Решение задач.
В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.
(Слайд 14)
№ 7. Заполнить таблицу.
(Слайд 15)
№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:
а) (х
– 5) 2 + (у
+ 3) 2 = 36;
б
) (х
+ 1) 2 + (у
– 7) 2 = 7 2 .
(Слайд 16)
№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.
| Дано: | Решение: | ||
| R | Координаты центра | ||
| 1 | А
(0 ; -6) В (0 ; 2) |
АВ
2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 . |
А
(0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр |
| 2 | А
(-2 ; 0) В (4 ; 0) |
АВ
2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. |
А
(-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр |
(Слайд 17)
№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).
Решение.
R 2 = ОК
2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R =
13;
Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.
(Слайд 18)
№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).
Решение.
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
(Слайд 19)
№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).
Решение.
1. Центр окружности – А
(3;2);
2. R
= АВ
;
АВ
2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ
= 5;
3. Уравнение окружности (х
– 3) 2 + (у
− 2) 2
= 25.
(Слайд 20)
№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Решение.
I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А
(1; -1) не лежит
на
окружности, заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
−
4) 2 =
25.
II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В
(0;8) лежит
х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С
(-3; -1) лежит
на окружности,
заданной уравнением (х
+ 3) 2 +
(у
− 4) 2
=
25.
Итог урока.
- Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
- (Слайд 21) Домашнее задание.
Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
O → x
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
