Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.
Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy , где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной нагрузкой интенсивностью q x и q y вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью компонентами:
– внутренними усилиями (M , Q , N ,);
– перемещениями (u , v , q);
– деформациями (κ, g, e).
Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы.
Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б ) с заданной нагрузкой:
dN /dx = – q x ; ü
dQ /dx = q y ; ý (1.10)
dM /dx = Q . þ
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения, показанные на рис. 1.20, в , г :
κ = d q/dx ; ü
g = q - dv /dx ; ý (1.11)
e = du /dx . þ
Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M /EJ ; ü
g = mQ /GF ; ý (1.12)
e = N /EF ; þ
где E – модуль Юнга;
G – модуль сдвига;
F – площадь поперечного сечения стержня;
J – момент его инерции;
m – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.
| Q > 0 |
| γ>0 |
| Q +dQ |
| M > 0 |
| N +dN |
| q x > 0 |
| q y > 0 |
| u >0 |
| θ>0 |
| N > 0 |
| M +dM |
| θ+d θ > 0 |
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.
При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:
1) внутренние усилия M , Q , N удается найти из системы уравнений (1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;
2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения всех девяти уравнений – это СНС.
В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:
– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M , Q , N , выражая все остальные через них – это решение в форме метода сил ;
– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u , v , q – это решение в форме метода перемещений .
Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10) - (1.12), называются линейно-деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции , в соответствии с которым:
внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки (или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания
1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах q x = const, и составляя уравнение SX = 0, получим:
– N + q x ×dx + (N +dN ) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского .
2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси балки :
κ = d q/dx = d 2 v /dx 2 = M /EJ .
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня (m =1) выражает закон Гука при сдвиге :
t = Q /F = G g.
При этом мы не уточняем смысл коэффициента m по причине, которая будет указана в § 3.5. Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС :
s = N /F = E ×e.
3. В дальнейшем мы будет по-прежнему применять обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.
Системы истинного и среднего солнечного времени.
Система звездного времени
Звездное время обозначается s. Параметрами системы звездного времени являются:
1) механизм – вращение Земли вокруг своей оси;
2) масштаб - звездные сутки, равные промежутку времени между двумя последовательными верхними кульминациями точки весеннего равноденствия в пункте наблюдения;
3) начальная точка на небесной сфере - точка весеннегоравноденствия g, нульпункт (начало звездных суток) - момент верхней кульминации точки g;
4) способ отсчета. Мера измерения звездного времени - часовой угол точки весеннего равноденствия, t g . Измерить его невозможно, но для любой звезды справедливо выражение
s = t g = a + t,
следовательно, зная прямое восхождение звезды a и вычисляя ее часовой угол t, можно определить звездное время s.
Система звездного времени применяется при определении географических координат пунктов на поверхности Земли и азимутов направления на земные предметы, при изучении неравномерностей суточного вращения Земли, при установлении нульпунктов шкал других систем измерения времени. Эта система, хоть и широко применяется в астрономии, в повседневной жизни неудобна. Смена дня и ночи, обусловленная видимым суточным движением Солнца, создает вполне определенный цикл в деятельности человека на Земле. Поэтому издавна счисление времени ведется по суточному движению Солнца.
Система истинного солнечного времени (или истинное солнечное время - m ¤) применяется при астрономических или геодезических наблюдениях Солнца. Параметры системы:
1) механизм - вращение Земли вокруг своей оси;
2) масштаб - истинные солнечные сутки - промежуток времени между двумя последовательными нижними кульминациями центра истинного Солнца;
3) начальная точка - центр диска истинного Солнца - ¤, нульпункт - истинная полночь, или момент нижней кульминации центра диска истинного Солнца;
4) cпособ отсчета. Мера измерения истинного солнечного времени - геоцентрический часовой угол истинного Солнца t ¤ плюс 12 часов:
m ¤ = t ¤ + 12 h .
Единица истинного солнечного времени - секунда, равная 1/86400 истинных солнечных суток, не удовлетворяет основному требованию, предъявляемому к единице измерения времени - она не постоянна.
Причинами непостоянства шкалы истинного солнечного времени являются:
1) неравномерное движение Солнца по эклиптике вследствие эллиптичности орбиты Земли;
2) неравномерное возрастание прямого восхождения Солнца в течение года, так как Солнце по эклиптике, наклоненной к небесному экватору под углом примерно 23.5 0 .
Вследствие этих причин применение системы истинного солнечного времени на практике неудобно. Переход к равномерной шкале солнечного времени происходит в два этапа.
Этап 1 - переход к фиктивному среднему эклиптическому Солнцу. На данном этапе исключается неравномерность движения Солнца по эклиптике. Неравномерное движение по эллиптической орбите заменяется равномерным движением по круговой орбите. Истинное Солнце и среднее эклиптическое Солнце совпадают, когда Земля проходит через перигелий и афелий своей орбиты.
Этап 2 - переход к среднему экваториальному Солнцу. Здесь исключается неравномерность возрастания прямого восхождения Солнца, обусловленная наклоном эклиптики. Истинное Солнце и среднее экваториальное Солнце одновременно проходят точки весеннего и осеннего равноденствия.
В результате перечисленных действий вводится новая система измерения времени – среднее солнечное время .
Среднее солнечное время обозначается m. Параметрами системы среднего солнечного времени являются:
1) механизм - вращение Земли вокруг оси;
2) масштаб - средние сутки - промежуток времени между двумя последовательными нижними кульминациями среднего экваториального Солнца ¤ экв;
3) начальная точка - среднее экваториальное Солнце ¤ экв, нульпункт - средняя полночь, или момент нижней кульминации среднего экваториального Солнца;
4) способ отсчета. Мерой измерения среднего времени является геоцентрический часовой угол среднего экваториального Солнца t ¤ экв плюс 12 часов.
m = t ¤ экв + 12 h .
Определить среднее солнечное время непосредственно из наблюдений нельзя, так как среднее экваториальное Солнце – фиктивная точка на небесной сфере. Среднее солнечное время вычисляют по истинному солнечному времени, определенному из наблюдений истинного Солнца. Разность истинного солнечного времени m ¤ и среднего солнечного времени m называется уравнением времени и обозначается h:
h = m ¤ - m = t ¤ - t ¤ ср.экв. .
Уравнение времени выражается двумя синусоидами с годовым и полугодовым периодами:
h = h 1 + h 2 » -7.7 m sin (l + 79 0)+ 9.5 m sin 2l,
где l – эклиптическая долгота среднего эклиптического Солнца.
График h есть кривая с двумя максимумами и двумя минимумами, которая в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид, показанный на рисю17.
Уравнение времени
График уравнения времени (синяя линия) и двух его составляющих при определении этого уравнения как УВ = ССВ - ИСВ.
Уравнение времени - разница между средним солнечным временем (ССВ) и истинным солнечным временем (ИСВ), то есть УВ = ССВ - ИСВ . Эта разница в каждый конкретный момент времени одинакова для наблюдателя в любой точке Земли. Уравнение времени можно узнать из специализированных астрономических изданий, астрономических программ или вычислить по формуле, приведенной ниже.
В таких изданиях, как «Астрономический календарь», уравнение времени определяется как разность часовых углов среднего экваториального солнца и истинного солнца, то есть, при таком определении УВ = ССВ - ИСВ .
В англоязычных изданиях часто применяется иное определение уравнения времени (т.н. «инвертированное»): УВ = ИСВ - ССВ, то есть разница между истинным солнечным временем (ИСВ) и средним солнечным временем (ССВ).
Некоторые пояснения к определению
Можно встретить определение уравнения времени как разницы «местного истинного солнечного времени» и «местного среднего солнечного времени» (в англоязычной литературе - local apparent solar time и local mean solar time ). Данное определение формально более точно, но не влияет на результат, так как для любой конкретной точки на Земле эта разница одинакова.
Кроме того, не следует путать ни «местное истинное солнечное время», ни «местное среднее солнечное время» с поясным временем - временем «официальных» часов (например, «Московское время»).
Объяснение неравномерности движения истинного Солнца
В отличие от звезд, чьё видимое суточное движение практически равномерно и обусловлено только вращением Земли вокруг своей оси, суточное движение Солнца не равномерно, так как обусловлено и вращением Земли вокруг своей оси, и вращением Земли вокруг Солнца, и наклоном земной оси к плоскости эклиптики.
Неравномерность, обусловленная эллиптичностью орбиты
Вращение Земли вокруг Солнца происходит по эллиптической орбите. Согласно второму закону Кеплера , такое движение неравномерно, оно быстрее в области перигелия и медленнее в области афелия . Для наблюдателя, находящегося на Земле, это выражается в том, что видимое движение Солнца по эклиптике относительно неподвижных звезд то ускоряется, то замедляется.
Неравномерность обусловленная наклоном земной оси
Уравнение времени обращается в ноль четыре раза в году: 14 апреля , 14 июня , 2 сентября и 24 декабря .
Соответственно, в каждое время года существует свой максимум уравнения времени: около 12 февраля - +14,3 мин, 15 мая - −3,8 мин, 27 июля - +6,4 мин и 4 ноября - −16,4 мин. Точные величины уравнения времени даются в астрономических ежегодниках.
Может применяться как дополнительная функция в некоторых моделях часов .
Расчёт
Уравнение можно аппроксимировать отрезком ряда Фурье как сумму двух синусоидальных кривых с периодами, соответственно, на один год и шесть месяцев:
если углы выражаются в градусах. если углы выражаются в радианах. Там, где - количество дней, например: на 1 января на 2 январяПримечания
Ссылки
- Величина колебаний уравнения времени в течение года на портале Гринвичской королевской обсерватории .
- Образец построения графика уравнения времени , где прорисованы:
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Пакгауз
- Двойная запись
Смотреть что такое "Уравнение времени" в других словарях:
УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ - (Equation of time) разность прямых восхождений истинного и среднего Солнца, или разность часовых углов среднего и истинного Солнца: Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 Уравнение … Морской словарь
УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ - разность между средним (среднеэкваториальным) солнечным временем и истинным солнечным временем. Изменяется в течение года от 16,4 мин до + 14,3 мин … Большой Энциклопедический словарь
уравнение времени - Разность между средним и истинным солнечным временем, плавно изменяющаяся в течение года от 16,4 до +14,3 мин … Словарь по географии
Уравнение времени - разность между средним и истинным солнечным временем; равна разности прямых восхождений истинного и среднего Солнца. Часто У. в. определяют как разность истинного и среднего времени; в этом случае оно имеет противоположный знак, что нужно … Большая советская энциклопедия
уравнение времени - разность между средним солнечным временем и истинным солнечным временем. Изменяется в течение года от 16,4 мин до +14,3 мин. * * * УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ, разность между средним (среднеэкваториальным) солнечным временем и истинным… … Энциклопедический словарь
Уравнение времени - см. Полдень … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ Естествознание. Энциклопедический словарь
Уравнение времени - разность между средним солнечным временем и истинным солнечным временем. Изменяется в течение года от 16,4 мин до +14,3 мин … Астрономический словарь
уравнение времени
разность между средним (среднеэкваториальным) солнечным временем и истинным солнечным временем. Изменяется в течение года от -16,4 мин до + 14,3 мин.
Уравнение времени
разность между средним и истинным солнечным временем; равна разности прямых восхождений истинного и среднего Солнца. Часто У. в. определяют как разность истинного и среднего времени; в этом случае оно имеет противоположный знак, что нужно иметь в виду при пользовании справочниками.
У. в. непрерывно меняется. Это обусловлено тем, что истинное солнечное время, измеряемое часовым углом истинного Солнца, течёт неравномерно вследствие, во-первых, неравномерности движения Земли по орбите и, во-вторых, наклона эклиптики к экватору. Поэтому У. в. получается в результате сложения двух волн приблизительно синусоидальной формы и почти равной амплитуды (см. рис. ). Одна из этих волн имеет годичный, другая √ полугодичный периоды. Четыре раза в году, а именно: около 16 апреля, 14 июня, 1 сентября и 25 декабря У. в. равно нулю и достигает 4 раза наибольшего значения (по абсолютной величине): около 12 февраля + 14,3 мин, 15 мая √ 3,8 мин, 27 июля + 6,4 мин и 4 ноября √ 16,4 мин. С помощью У. в. может быть найдено среднее местное солнечное время, если известно истинное солнечное время, определённое по наблюдениям Солнца, например с помощью солнечных часов; при этом пользуются формулой:
где m √ среднее время, m0 √ истинное время, h √ У. в. Значения У. в. на каждый день даются в астрономических ежегодниках и календарях. См. Время.
Википедия
Уравнение времени
Уравнение времени - разница между средним солнечным временем и истинным солнечным временем, то есть УВ = ССВ - ИСВ. Эта разница в каждый конкретный момент времени одинакова для наблюдателя в любой точке Земли. Уравнение времени можно узнать из специализированных астрономических изданий, астрономических программ или вычислить по формуле, приведенной ниже.
В таких изданиях, как «Астрономический календарь», уравнение времени определяется как разность часовых углов среднего экваториального солнца и истинного солнца, то есть, при таком определении УВ = ССВ - ИСВ.
В англоязычных изданиях часто применяется иное определение уравнения времени: УВ = ИСВ - ССВ, то есть разница между истинным солнечным временем.
Математическая сторона основной задачи строительной механики основана на зависимостях, полученных в сопромате. Напомним их на примере напряженно-деформированного состояния элемента рамы, для которого – в отличие от балки – поперечный изгиб сопровождается дополнительным растяжением или сжатием.
Пусть такой элемент длиной dx расположен в локальной системе координат Oxy , где ось Ox направлена по оси стержня, и загружен распределенной нагрузкой интенсивностью q x и q y вдоль Ox и Oy соответственно (рис. 1.20).
Напряженно-деформированное состояние стержня определяется девятью компонентами:
– внутренними усилиями (M , Q , N ,);
– перемещениями (u , v , );
– деформациями (κ, , ).
Уравнения для определения этих функций можно разделить на три группы:
Статические уравнения – связывают внутренние усилия (рис. 1.20, б) с заданной нагрузкой:
dN /dx = – q x ;
dQ /dx = q y ; ý (1.10)
dM /dx = Q .
Геометрические уравнения – выражают деформации через перемещения, показанные на рис. 1.20, б, в:
κ = d /dx ;
= dv /dx ; (1.11)
= du /dx .
Физические уравнения – представляют собой зависимости между внутренними усилиями и деформациями:
κ = M /EJ ;
= Q /GF ; (1.12)
= N /EF ;
где E – модуль Юнга;
G – модуль сдвига;
F – площадь поперечного сечения стержня;
J – момент его инерции;
– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня.
Отметим, что выражения EJ и EF в (1.12) называются жесткостями стержня при изгибе и растяжении (сжатии) соответственно.
При решении системы уравнений (1.10) – (1.12) возможны два варианта:
1) внутренние усилия M , Q , N , удается найти из системы уравнений (1.10), не обращаясь к остальным уравнениям – это СОС;
2) внутренние усилия можно найти только путем совместного решения всех девяти уравнений – это СНС.
В последнем случае при решении этих уравнений возможны два подхода:
– в качестве основных неизвестных выбирают усилия M , Q , N , выражая все остальные через них – это решение в форме метода сил ;
– в качестве основных неизвестных выбирают перемещения u , v , – это решение в форме метода перемещений .
Системы, описываемые линейными уравнениями (1.10) (1.12), называются линейно деформируемыми. Для них справедлив принцип суперпозиции , в соответствии с которым:
Внутренние усилия, перемещения и деформации от заданной нагрузки (или иного воздействия) можно найти как сумму соответствующих величин от каждой нагрузки в отдельности.
Примечания:
1. Первое из статических уравнений (1.10) получается из условия равновесия рассматриваемого элемента рамы. Полагая в его пределах q x = const, и составляя уравнение X = 0, получим:
– N + q x dx + (N +dN ) = 0,
откуда и следует искомая зависимость. Два других уравнения из (1.10) – это дифференциальные зависимости Журавского .
2. Первое из физических уравнений (1.12) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси балки :
κ = d /dx = d 2 v /dx 2 = M /EJ .
Второе уравнение в предпосылке равномерного распределения касательных напряжений в поперечном сечении стержня ( =1) выражает закон Гука при сдвиге :
= Q /F = G .
При этом мы не уточняем смысл коэффициента по причине, которая будет указана в § 3.5. Последнее из физических уравнений (1.12) – это закон Гука при ЦРС :
= N /F = E .
3. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будет по-прежнему применять обозначение Oxy для глобальной системы координат, связанной с конструкцией в целом.
